Charakterystyka Eulera powierzchni wielościanów wypukłych wynosi zatem
Własność ta została po raz pierwszy zauważona[4] (jedynie dla brył platońskich) w 1537 roku przez Francesco Maurolico w jego nieopublikowanym manuskrypcie. Następnie, dla wielościanów wypukłych własność tę zauważył Euler. Pierwszy poprawny dowód jej prawdziwości podał Legendre[5].
Wielościany dowolne
Ta sama definicja (czyli ) obowiązuje także dla innych wielościanów. Każda powierzchnia wielościanu homeomorficzna z powierzchnią wielościanu wypukłego ma charakterystykę równą 2. Nie jest to prawdą dla wszystkich powierzchni wielościanów: wszystkie powierzchnie wielościanów homeomorficzne z torusem (czyli takie, przez środek których „przechodzi dokładnie jedna dziura”) mają charakterystykę równą 0.
Definicja ogólna
Niech będzie przestrzenią topologiczną. Jej charakterystykę Eulera definiujemy jako[6]
gdzie jest rangą-tej grupy homologii (tj. -tą liczbą Bettiego) przestrzeni Definicja ta ma sens jedynie wtedy, gdy wszystkie liczby Bettiego oraz ich suma są skończone.
W przypadku, gdy jest skończonym CW-kompleksem, to jego charakterystyka Eulera jest równa
gdzie oznacza liczbę komórek wymiaru W szczególności, w przypadku kompleksów symplicjalnych oznacza liczbę -wymiarowych sympleksów.
Powierzchnie
Aby obliczyć charakterystykę Eulera powierzchni (jak i innych, wyżej wymiarowych wielościanów) wystarczy znaleźć jej rozkład komórkowy. Np. dla sfery wystarczy jedna komórka 0-wymiarowa oraz jedna wymiaru 2. Przedstawienie sfery w postaci wielościanu wymaga co najmniej 4 ścian, 4 wierzchołków oraz 6 krawędzi.
Jeżeli jest skończonym wielościanem, to jest równa liczbie Lefschetza identyczności[6]
Niech będzie skończoną kategorią. Tj. taką, że liczba morfizmów (a więc i obiektów) jest skończona. Oznaczmy przez jej obiekty. Z taką kategorią możemy stowarzyszyć macierz wymiaru gdzie jest liczbą morfizmów Jeżeli istnieją takie że
to
Powyższą sumę nazywamy charakterystyką Eulera kategorii Jest ona liczbą wymierną. Jeżeli przestrzeń klasyfikująca kategorii jest skończonym wielościanem, to jego charakterystyka Eulera jest równa[7]
Aksjomatyzacja
Charakterystykę Eulera można zdefiniować również aksjomatycznie. Dokładniej, zredukowana charakterystyka Eulera (tj. charakterystyka minus 1) jest jedyną[8][9] całkowitoliczbową funkcją określoną na zbiorze klas homeomorfizmów skończonych wielościanów (z punktem bazowym) spełniającą warunki: