Dziedzina całkowitości, pierścień całkowity[1]niezerowy pierścień przemienny z jedynką bez (właściwych) dzielników zera. Pierścienie te są uogólnieniem pierścienia liczb całkowitych i stanowią one naturalny kontekst do badania podzielności ze względu na dość regularne reguły przeprowadzania rachunków; najistotniejszą ich własnością jest tzw. prawo skracania.

Nieprzemienne dziedziny całkowitości nazywa się dziedzinami, wiele pozycji jednak się nimi nie zajmuje (ograniczając się do klasy pierścieni przemiennych), nazywając dziedziny całkowitości w skrócie również dziedzinami. Inną nazwą dziedziny całkowitości, pochodzącą od Langa[potrzebny przypis], jest pierścień całkowity.

Własności

  • Niech będzie dziedziną całkowitości. Jeżeli przy czym to zachodzi własność skracania:
jeśli to
Dowód: Niech Jeśli to czyli Ale w pierścieniu nie ma dzielników zera, więc Stąd
  • Każde ciało jest dziedziną całkowitości.
    Dowód: Zbiór niezerowych elementów ciała jest grupą, tzn. iloczyn niezerowych elementów jest różny od zera.
  • Każda skończona dziedzina całkowitości jest ciałem.
    Dowód: Wystarczy wykazać, że dowolny niezerowy element jest odwracalny. Rozważmy dla danego elementu jego iloczyny ze wszystkimi elementami pierścienia: Gdyby wśród nich nie było jedynki, to pewien element występowałby dwa razy (co najmniej) dla iloczynów z różnymi elementami, np. dla pewnych Ale z własności skracania wynika wbrew temu, że są różnymi elementami.

Zobacz też

Przypisy

  1. jednoznaczność rozkładu, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2022-03-25].

Bibliografia


Witaj

Uczę się języka hebrajskiego. Tutaj go sobie utrwalam.

Źródło

Zawartość tej strony pochodzi stąd.

Odsyłacze

Generator Margonem

Podziel się