Współczesna matematyka traktuje kwaterniony jako czterowymiarową, unormowanąalgebrę z dzieleniem nad liczbami rzeczywistymi. Algebra kwaternionów jest oznaczana przez od pierwszej litery nazwiska twórcy. Zajmuje ona specjalne miejsce w algebrze, ponieważ zgodnie z twierdzeniem Frobeniusa jest jednym z trzech skończenie wymiarowych pierścieni z dzieleniem zawierających liczby rzeczywiste jako podpierścień.
Konstrukcje
tabelka mnożenia
×
e
i
j
k
e
e
i
j
k
i
i
–e
k
–j
j
j
–k
–e
i
k
k
j
–i
–e
Jest kilka sposobów konstruowania kwaternionów.
Kwaternion jako suma algebraiczna
Kwaterniony w tej konstrukcji mają postać:
gdzie: zaś to pewne obiekty (jednostki urojone) podobne do wartości w liczbach zespolonych, gdyż zachodzi zależność
Dodawanie i mnożenie kwaternionów, w postaci algebraicznej, wykonujemy jak na wielomianach czterech zmiennych przy czym mnożenie jednostek z uwzględnieniem ich kolejności określa tabelka po prawej.
jest to element neutralny, tak jak w przypadku innych struktur algebraicznych jak np. grup. Często nie uwzględniany w zapisie kwaternionu, dlatego nazywa się czasami częścią rzeczywistą kwaternionu
Wtedy:
Przykład
Niech
Wtedy
Kwaterniony jako macierze zespolone
Kwaterniony zdefiniowane są jako macierze z przestrzeni postaci
gdzie
Podstawowe własności:
suma dwu kwaternionów jest kwaternionem:
podobnie iloczyn dwu kwaternionów jest kwaternionem:
dla kwaternionu istnieje kwaternion odwrotny do zadany wzorem:
Macierz jednostkowa i zerowa
są oczywiście kwaternionami.
Należy zauważyć, że np.
czyli mnożenie kwaternionów nie jest przemienne.
Z konstrukcji macierzowej bezpośrednio wynika izomorficzność tabelki mnożenia jednostek kwaternionu po prawej.
I wystarczy przyjąć oznaczenia:
Kwaternion jako para liczb zespolonych.
W tej konstrukcji każdy kwaternion jest parą pewnych liczb zespolonych: gdzie W tym zbiorze definiuje się działania:
dodawanie
mnożenie
Izomorficzność tej struktury z kwaternionami w postaci macierzowej wynika stąd, że zdefiniowana tu para liczb zespolonych jest pierwszym wierszem w macierzy definiującej kwaterniony, a pierwszy wiersz kwaternionu macierzowego jednoznacznie określa całą macierz.
Własności algebraiczne wynikają z własności algebry macierzy zespolonych
dodawanie kwaternionów jest łączne i przemienne, czyli oraz
mnożenie kwaternionów jest łączne, czyli ale nie jest przemienne (np. ),
zachodzą rozdzielności mnożenia względem dodawania, czyli
każdy niezerowy element ma element odwrotny do siebie.
Zbiór kwaternionów z dodawaniem jako działaniem tworzy więc grupę abelową. Zbiór niezerowych kwaternionów z mnożeniem jest grupą nieabelową.
Ponieważ zachodzi rozdzielność obustronna mnożenia względem dodawania, kwaterniony z dwoma działaniami tworzą pierścień nieprzemienny z dzieleniem. Spełnione są więc wszystkie aksjomaty ciała z wyjątkiem przemienności
Niektóre podstruktury
Ponieważ kwaterniony są uogólnieniem pewnych ciał liczbowych, można w nich zanurzyć te ciała:
kwaterniony postaci można utożsamiać z liczbami rzeczywistymi,
następujące zbiory kwaternionów możemy utożsamiać z ciałem liczb zespolonych:
Jak liczbę zespoloną tak i kwaternion można przedstawić w postaci sumy części rzeczywistej oraz urojonej W tej postaci zaś jest wektorem trójwymiarowym. Wtedy iloczyn dwóch wektorów urojonych można wyrazić jako: a dwóch kwaternionów – jako:
Kwaterniony jednostkowe tworzą sferę jednostkową w przestrzeni czterowymiarowej. Grupa ta jest blisko związana z grupą obrotów przestrzeni trójwymiarowej. Przypiszmy mianowicie dowolnemu kwaternionowi obrót według wzoru:
Wówczas:
przekształcenie jest obrotem w trójwymiarowej przestrzeni kwaternionów urojonych,
przekształcenie definiuje podwójne nakrycie grupy przez sferę
jeśli wyrazimy kwaternion w postaci wykładniczej wtedy jest obrotem wokół osi kąt
Zastosowania
Kwaterniony są używane w grafice komputerowej do wykonywania obrotów w przestrzeni trójwymiarowej. Klasa obsługująca kwaterniony zdefiniowana jest w pakiecie DirectX[5]. Klasy pozwalające wykonywać operacje na kwaternionach dostępne są również w OpenGL oraz wielu istniejących silnikach 3D. Części urojone kwaternionu służą do zdefiniowania płaszczyzny obrotu (opisują wektor prostopadły do płaszczyzny obrotu), część rzeczywista do określenia kąta obrotu. Zalety użycia kwaternionów to brak możliwości wystąpienia efektu Gimbal Lock (utraty stopnia swobody) oraz proste obliczeniowo metody służące interpolacji SLERP i LERP.
Uogólnionych algebr kwaternionów używa się w teorii liczb (ładne sformułowanie zasady lokalno-globalnej Minkowskiego-Hasse), geometrii algebraicznej (stożkowe jako rozmaitości Severi-Brauera); pojawiają się w teorii kohomologii Galois (kohomologii etalnych) jako elementy rzędu 2 w grupie Brauera ciała (słynne twierdzenie Merkurjewa z 1981 identyfikuje owe elementy rzędu dwa jako klasy iloczynów tensorowych uogólnionych algebr kwaternionów); algebraiczna K-teoria rzutowej krzywej stożkowej wyraża się przez algebraiczną K-teorię ciała współczynników i K-teorię odpowiedniej uogólnionej algebry kwaternionów. Ogólniej, R. Swan udowodnił w 1985, że algebraiczna K-teoria kwadryki rzutowej wyraża się przez algebraiczne K-teorie ciała i odpowiedniej algebry Clifforda, która jest albo algebrą macierzy nad iloczynem tensorowym uogólnionych algebr kwaternionów, albo iloczynem kartezjańskim dwóch takich algebr (macierzy).
↑Nazwa ta użyta została m.in. w tytule wykładu Władysława Kretkowskiego „Teorya czwarków Wiliama Hamiltona wraz z niektóremi zastosowaniami do geometryi”, który wygłoszony został na Uniwersytecie Lwowskim w roku akademickim 1882/83.
Przypisy
↑Leonard C. Bruno: Math and mathematicians: the history of math discoveries around the world. Baker, Lawrence W.. Detroit, Mich.: U X L, 2003, s. 210. ISBN 0-7876-3813-7. OCLC 41497065. (ang.).
↑Danuta Ciesielska – referat „Oblicze dziewiętnastowiecznej algebry na polskich uczelniach”.
Quaternion(ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
Grant Sanderson, Visualizing quaternions (4d numbers) with stereographic projection, kanał 3blue1brown na YouTube, 6 września 2018 [dostęp 2021-03-15].
Kwaterniony w grafice komputerowej i mechanice (Gernot Hoffman)