Systemy pozycyjne – metody zapisywania liczb (in. systemy liczbowe) w taki sposób, że w zależności od pozycji danej cyfry w ciągu, oznacza ona wielokrotność potęgi pewnej liczby uznawanej za bazę danego systemu. Np. powszechnie używa się systemu dziesiętnego, w którym za bazę przyjmuje się liczbę dziesięć. Tym samym napis 46532 oznacza .

System pozycyjny umożliwia też zapisywanie ułamków, przy czym liczby wymierne składają się albo ze skończonej liczby znaków, albo są od pewnego miejsca okresowe. Np. 3,1415 rozumiemy jako , a jako .

Obok dziesiętnego systemu liczbowego, używanego w codziennym życiu, warto wymienić też:

Zapis liczb ujemnych wymaga zwykle użycia dodatkowego znaku ("−"). Aby tego uniknąć można przyjąć za bazę liczbę ujemną (np. −2), wprowadzić cyfry o wartości ujemnej (np. zestaw cyfr −1, 0, +1 przy bazie 3), albo zastosować specjalny kod (np. U2).

Zestawienie przykładowych systemów pozycyjnych
Trójkowy zrównoważony
o cyfrach 0, +(1), −(1)
Dwójkowy O bazie −4 Szesnastkowy Dziesiętny
−++− −10000 1300 −10 −16
−++0 −1111 1301 −F −15
−+++ −1110 1302 −E −14
−−− −1101 1303 −D −13
−−0 −1100 30 −C −12
−−+ −1011 31 −B −11
−0− −1010 32 −A −10
−00 −1001 33 −9 −9
−0+ −1000 20 −8 −8
−+− −111 21 −7 −7
−+0 −110 22 −6 −6
−++ −101 23 −5 −5
−− −100 10 −4 −4
−0 −11 11 −3 −3
−+ −10 12 −2 −2
−1 13 −1 −1
0 0 0 0 0
+ 1 1 1 1
+− 10 2 2 2
+0 11 3 3 3
++ 100 130 4 4
+−− 101 131 5 5
+−0 110 132 6 6
+−+ 111 133 7 7
+0− 1000 120 8 8
+00 1001 121 9 9
+0+ 1010 122 A 10
++− 1011 123 B 11
++0 1100 110 C 12
+++ 1101 111 D 13
+−−− 1110 112 E 14
+−−0 1111 113 F 15
+−−+ 10000 100 10 16

Obok opisanych powyżej potęgowych systemów pozycyjnych istnieje cały szereg systemów pozycyjnych o innej konstrukcji. Są to np.:

Historia

Dzisiaj system dziesiętny, który jest prawdopodobnie motywowany liczeniem dziesięcioma palcami, jest wszechobecny. Inne bazy były używane w przeszłości, a niektóre z nich są nadal używane. Na przykład system liczb babilońskich, uznawany jako pierwszy system liczb pozycyjnych, był to sześćdziesiątkowy system liczbowy, ale brakowało rzeczywistej wartości 0. Zero było wskazywane przez spację między cyframi dziesiątek. Do 300 p.n.e symbol interpunkcji (dwa ukośne kliny) były przyjmowane jako symbol zastępczy w tym samym systemie liczb pozycyjnym. Na tabliczce odkrytej w Kisz ( datowanej na 700 p.n.e. pisarz Bêl-bân-aplu napisał swoje zera trzema haczykami, zamiast dwóch ukośnych klinów. Babiloński symbol zastępczy nie był prawdziwym zerem, ponieważ nie był używany samodzielnie. Nie był też używany na końcu liczby. Tak więc liczby takie jak 2 i 120 (2 × 60), 3 i 180 (3 × 60), 4 i 240 (4 × 60) wyglądały tak samo, ponieważ większej liczbie brakowało ostatecznego zastępczego symbolu. Tylko kontekst mógł rozróżnić liczby.

Archimedes (ok. 287 p.n.e. – 212 p.n.e.) wynalazł dziesiętny układ pozycyjny w jego „The Sand Reckoner”, który był oparty na 108 , a później doprowadził niemieckiego matematyka Carla Friedricha Gaussa do użalania się nad tym, jak wielkie osiągnięcia naukowe uzyskanoby, gdyby Archimedes w pełni zdał sobie sprawę z potencjału swojego genialnego odkrycia.

Zanim systemy pozycyjne stały się standardem, używano prostych systemów addytywnych (znak-wartość), takich jak cyfry rzymskie, natomiast w średniowieczu jak i księgowi w starożytnym Rzymie używali liczydeł do obliczania równań arytmetycznych.

Patyczki liczbowe i większość liczydeł były używane do przedstawiania liczb w systemie liczb pozycyjnych. Dzięki patyczkom liczbowym i liczydłom wykorzystywanych do wykonywania operacji arytmetycznych, zapis początkowych, pośrednich i końcowych wartości obliczeń łatwo można było wykonać za pomocą prostego systemu addytywnego, w każdej pozycji i kolumnie.

Po rewolucji francuskiej (1789-1799) nowy rząd francuski promował rozszerzenie systemu dziesiętnego. Niektóre z tych pro-dziesiętnych starań – takich jak czas dziesiętny oraz kalendarz dziesiętny - zakończyły się niepowodzeniem. Inne francuskie starania pro-dziesiętne – decymalizacja waluty, pomiar wag i miar – rozprzestrzeniły się z Francji na prawie cały świat.

Problematyka systemu pozycyjnego

Kluczowym argumentem przeciwko systemowi pozycyjnemu była podatność na łatwe oszustwo poprzez umieszczenie liczby na początku lub na końcu liczby, zmieniając w ten sposób na przykład  100 na 5100 lub 100 na 1000. Współczesne czeki wymagają pisemnego zapisu kwoty, jak i również samej liczby dziesiętnej, aby zapobiec takim oszustwom. Z tego samego powodu Chińczycy posługują się również numerami w języku naturalnym, na przykład 100 jest napisane jako 壹佰, które nigdy nie może być wykute w 壹仟 (1000) ani 伍仟 壹佰 (5100).

Zastosowanie

System dziesiętny

W systemie dziesiętnym, każda pozycja zaczynająca się od prawej strony jest kolejną potęgą liczby 10. A więc pierwsza pozycja to 101 (10), druga pozycja 102(10x10 =100), trzecia pozycja 103(10x10x10=1000), czwarta pozycja 104 (10x10x10x10=10000) i tak dalej. 

Wartości ułamków są przedstawiane za pomocą separatora, który może się różnić w zależności od lokalizacji. Zwykle separatorem jest kropka lub przecinek. Cyfry po prawej stronie są mnożone przez 10 podniesione do ujemnej potęgi lub wykładnika. Pierwsza pozycja na prawo od separatora przedstawia 10-1 (0,1), następnie 10-2(0,01) i tak dalej dla każdej kolejnej pozycji.

Na przykład, liczba 2674 w systemie dziesiętnym:

(2 × 103) + (6 × 102) + (7 × 101) + (4 × 100)

lub

(2 × 1000) + (6 × 100) + (7 × 10) + (4 × 1).

Sześćdziesiątkowy system liczbowy

Sześćdziesiątkowy system liczbowy był używany dla integralnych i ułamkowych części liczb babilońskich i innych systemów mezopotamskich , przez hellenistycznych astronomów, używających cyfr greckich tylko do części ułamkowych, który jest nadal używany do współczesnego czasu oraz kątów. Jednak nie wszystkie z tych zastosowań były pozycyjne.

Nowoczesny czas dzieli każdą pozycję za pomocą dwukropka albo kropki. Na przykład, czas można zapisać jako 10:25:59 (10 godzin, 25 minut, 59 sekund). Kąty używają podobnego zapisu. Na przykład, kątem może być 10°25'59" (10 stopnii, 25 minut, 59 sekund). W obu tych przypadkach tylko minuty i sekundy używają sześćdziesiątkowego systemu liczbowego - stopnie kątowe mogą być większe niż 59 (jeden obrót wokół okręgu wynosi 360°, dwa obroty to 720°, itp), i zarówno czas jak i kąty używają ułamków dziesiętnych sekundy. To kontrastuje się z liczbami używanymi przez hellenistycznych i renesansowych astronomów, którzy używali trzecich, czwartych i tym podobnych dla lepszych przyrostów. Tam gdzie my moglibyśmy zapisać 10°25'59.392", oni napisaliby 10°25'59"23'''31''''12""' or 10°25I59II23III31IV12V.

Używanie zestawu składającego się z cyfr oraz dużych i małych liter pozwala na krótkie zapisy dla liczb sześćdziesiątkowych, np. 10:25:59 zamienia się w 'ARz' (poprzez pominięcie I oraz O, ale nie i oraz o), co przydaje się w adresach URL, itp, lecz nie jest to zbyt zrozumiale dla ludzi.

Zobacz też

Bibliografia

  • O'Connor, John; Robertson, Edmund (December 2000). "Babylonian Numerals". Retrived 21 August 2010.
  • Ifrah, George (2000). The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer. Wiley.

Witaj

Uczę się języka hebrajskiego. Tutaj go sobie utrwalam.

Źródło

Zawartość tej strony pochodzi stąd.

Podziel się